Question

12．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{1-x}}，x≤1\\ 1-{log_2}x，x＞1\end{array}$，则f（f（-2））=-2；满足不等式f（x）≤4的x的取值范围是{x|x≥-1}．

Answer 1

分析 根据函数的解析式，先求得f（-2）的值，可得f（f（-2））的值． 把不等式f（x）≤4，转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{1-x}}，x≤1\\ 1-{log_2}x，x＞1\end{array}$，可得f（-2）=2³=8，∴f（f（-2））=f（8）=1-log₂8=1-3=-2．
不等式f（x）≤4，等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{{2}^{1-x}{≤2}^{2}}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{1{-log}_{2}x≤4}\end{array}\right.$ ②．
解①求得-1≤x≤1；解②求得x＞1，故不等式f（x）≤4的解集为{x|x≥-1}，
故答案为：-2；{x|x≥-1}．

点评 本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，指数、对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．