Question

过点C（0，

3

）的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，椭圆与x轴交于A（a，0）和B（-a，0）两点，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当直线l过椭圆的右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：

OP

•

OQ

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用过点C（0，

3

）的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，求出a，b，可得椭圆方程，直线l的方程为y=-

3

x+

3

，代入椭圆方程，求出交点坐标，即可求线段CD的长；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+

3

（k≠0且k≠

3

2

），代入椭圆方程，求出P，Q的坐标，利用向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由已知得b=

3

，

c

a

=

1

2

，得a=2，
所以，椭圆

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
椭圆的右焦点为F（1，0），
此时直线l的方程为y=-

3

x+

3

．
由

y=- 3 x+ 3 3x2+4y2=12.

解得x1=0，x2=

8

5

．
所以|CD|=

(1+k2)

|x1-x2|=

4

×

8

5

=

16

5

．…（6分）
（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，所以直线l与x轴不垂直，即直线的斜率存在．
设直线l的方程为y=kx+

3

（k≠0且k≠

3

2

）…（7分）
代入椭圆的方程，化简得（3+4k²）x²+8

3

kx=0，解得x₁=0或x₂=

-8 3 k

3+4k2

代入直线l的方程，得y1=

3

或y₂=

3 (3-4k2)

3+4k2

．
所以，D的坐标为(

-8 3 k

3+4k2

，

3 (3-4k2)

3+4k2

)．…（9分）
又直线AC的方程为

x

2

+

y

3

=1，
因为B（-2，0），kBD=

y2-0

x2+2

=-

3

2

2k+ 3

2k- 3

，
所以直线BD的方程为y=-

3

2

2k+ 3

2k- 3

(x+2)．
联立解得

x=- 4k 3 y=2k+ 3 .

，即Q(-

4k

3

，2k+

3

)．…（10分）
而P的坐标为P(-

3

k

，0)，
所以

OP

•

OQ

=(-

3

k

，0)•(-

4k

3

，2k+

3

)=4+0=4．
所以

OP

•

OQ

为定值4．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积公式，属于中档题．