Question

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
（1）若|AB|=

4 2

3

，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）问利用平面几何的知识，根据勾股定理、射影定理可以解决；
（2）问设点Q的坐标，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即可得出结论．

解答： 解：（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|=

2

3

2

，
又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

，
∵|MQ|=

|MA|2

|MP|

，∴|MQ|=3．
设Q（x，0），而点M（0，2），由

x2+22

=3，得x=±

5

，
则Q点的坐标为（

5

，0）或（-

5

，0）．
从而直线MQ的方程为2x+

5

y-2

5

=0或2x-

5

y+2

5

=0．
（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质，
可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x-q）+y（y-2）=0，
而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，
即为qx-2y+3=0，
∴直线AB恒过定点（0，

3

2

）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查平面几何的知识，考查学生的计算能力，属于中档题．