Question

如图,已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点.又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值;

(2)求二面角P-AB-C的大小;

(3)设点M在棱PC上,且=λ,问λ为何值时,PC⊥平面BMD?

Answer 1

解法一:∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.

又PB⊥PD,BO=2,PO=,

由平面几何知识得OD=1,PD=,PB=.

(1)过D作DE∥BC交AB于E.

连结PE,则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角.

∵四边形ABCD是等腰梯形,

∴OC=OD=1,OB=OA=2,OA⊥OB.

∴BC=,AB=2,CD=.

又AB∥DC,

∴四边形EBCD是平行四边形.

∴ED=BC=,BE=CD=.

∴E是AB的中点,且AE=.

又PA=PB=,∴△PEA为直角三角形.

∴PE==2.

在△PED中,由余弦定理得

cos∠PDE=.

故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为.

(2)连结OE,由(1)及三垂线定理,知∠PEO为二面角P-AB-C的平面角.

∴sin∠PEO=.∴∠PEO=45°.

∴二面角P-AB-C的大小为45°.

(3)连结MD、MB、MO,

∵PC⊥平面BMD,OM平面BMD,∴PC⊥OM.

又在Rt△POC中,

PC=PD=,OC=1,PO=,

∴PM=,MC=.∴2.

故λ=2时,PC⊥平面BMD.

解法二:∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.

又PB⊥PD,BO=2,PO=,

由平面几何知识得OD=OC=1,BO=AO=2.

以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为O（0,0，0），A（2,0，0），B（0,2，0）,C(-1,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,).

(1)∵=(0,-1,),=(-1,-2,0),

∴｜｜=，｜｜=，·=2.

∴cos〈,〉=.

故直线PD与BC所成的角的余弦值为.

(2)设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),

由于=（-2,2，0），=(-2,0,),

由得

取n=(1,1,),

又易知平面ABCD的一个法向量m=(0,0,1),

∴cos〈m,n〉=.

又二面角P-AB-C为锐角,

∴所求二面角P-AB-C的大小为45°.

(3)设M(x₀,0,z₀),由于P、M、C三点共线,

z₀=，                                                            ①

∵PC⊥平面BMD,∴OM⊥PC.

∴(-1,0,)·(x₀,0,z₀)=0.

∴x₀+z₀=0.                                                               ②

由①②知x₀=,z₀=.

∴M(,0,).∴λ==2.

故λ=2时,PC⊥平面BMD.