Question

已知函数．

（1）求证：函数在区间上存在唯一的极值点；

（2）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先求与，看两值是否异号，然后证明在[0，1]上单调性，即可证明函数在区间[0，1]上存在唯一的极值点；

（2）由得：，令，则， . 令，则，，，

所以在上单调递增，，对a进行和讨论得出结论．

试题解析：（1）， 1分

∵，，

∴， ∴在区间上存在零点． 3分

令 ，则，

∴在区间上单调递增， 5分

∴在区间上存在唯一的极小值点． 6分

（2）由得：，

令，则，

令，则，，，

所以在上单调递增，. 9分

（1）当时，恒成立，即，

所以在上单调递增， . 11分

（2）当时，存在使，即，

当时，，所以在上单调递减，

，这与对恒成立矛盾.

综合（1）、（2）得：. 14分

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．