Question

【题目】已知函数，其中.

（1）当时，求不等式在上的解；

（2）设，关于直线对称的函数为，求证：当时，；

（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析；

【解析】

（1）当时，对求导，判断导函数在上的正负号,说明函数在上的单调性，再利用，即可解出不等式.

（2）根据题意求出,令,求出说明其大于0.则在上单调递增，再结合，即可得证.

（3）根据题意可知，是函数的两个不同实根.不妨设,分别根据函数零点存在性定理可得,可得，则，要证即证.化简得,令

再根据函数，求导说明函数在上是减函数,结合，即可得证.

（1）当时，，

，，

∴在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，又，

∴的解集为；

（2），

∵关于直线对称的函数为，

∴

∴

令，

，当且仅当时取“＝”，

∵，故上式取不到“＝”，即，

∴在上单调递增，

故，即，

∴当时，，

（3）证明：由已知，

由，是函数的两个不同极值点（不妨设）.

即，是函数的两个不同实根.

即，

∴，，

两式相减得：，

于是要证明，即证明，

两边同除以，即证，即证，

即证

令

即证不等式当时恒成立.

设，

∴

而，即，∴，

∴在上是减函数,又

∴恒成立.

则.