Question

已知函数f（t）是奇函数且是R上的增函数，若x，y满足不等式f（x²-2x）≤-f（y²-2y），则x²+y²的最大值是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,基本不等式

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用函数的奇偶性、单调性可把f（x²-2x）≤-f（y²-2y）化为x²-2x≤-y²+2y，即（x-1）²+（y-1）²≤2，作出点（x，y）的轨迹图形，x²+y²的几何意义可求．

解答： 解：∵f（t）是奇函数，
∴f（x²-2x）≤-f（y²-2y）可化为f（x²-2x）≤f（-y²+2y），
又f（t）是R上的增函数，
∴x²-2x≤-y²+2y，即（x-1）²+（y-1）²≤2，
则（x，y）的轨迹表示坐标平面内以M（1，1）为圆心，

2

为半径的圆面，
作出图象如图所示：
x²+y²表示以点（x，y）到原点距离的平方，
由图可知x²+y²的最大值是(2

2

)2=8，
故答案为：8．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查圆的方程、两点间距离公式，正确理解式子的几何意义是解决该题的关键所在．