Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρsin（θ+

π

3

）=

1

2

与曲线

x= 1 2 (t+ 1 t ) y=t- 1 t

（t为参数）相交于A，B两点，若M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：把直线ρsin（θ+

π

3

）=

1

2

，曲线

x= 1 2 (t+ 1 t ) y=t- 1 t

（t为参数）化为普通方程，两方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，得x₁+x₂的值，即得M点的横坐标x₀，求出纵坐标y₀，即得直线OM的斜率．

解答： 解：直线ρsin（θ+

π

3

）=

1

2

化为普通方程是

3

x+y=1①，
曲线

x= 1 2 (t+ 1 t ) y=t- 1 t

（t为参数）化为普通方程是
4x²-y²=4②；
由①②得，4x²-(1-

3

x)2=4，
整理得，x²+2

3

x-5=0；
由根与系数的关系，得x₁+x₂=-2

3

，
∴x₀=

x1+x2

2

=-

3

，
y₀=1-

3

x₀=1-

3

×（-

3

）=4；
∴直线OM的斜率为k_OM=

y0

x0

=

4

- 3

=-

4 3

3

．
故答案为：-

4 3

3

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时可以把参数方程和极坐标化为普通方程，再来解答问题，是中档题．