Question

1．若a满足方程xe^x=4，b满足方程xlnx=4，则函数f（x）=log${\;}_{\sqrt{ab}}$（x+4）-（ab）^x（　　）

• A． 仅有一个或没有零点
• B． 有两个正零点
• C． 有一个正零点和一个负零点
• D． 有两个负零点

Answer 1

分析 作出y=e^x，y=lnx，y=$\frac{4}{x}$的函数图象，根据三个函数的对称关系得出ab=4，再作出y=log₂（x+4）与y=4^x的函数图象，根据图象判断结论．

解答 解：作出y=e^x，y=lnx，y=$\frac{4}{x}$的函数图象，

设A（a，$\frac{4}{a}$），B（b，$\frac{4}{b}$），
∵y=lnx与y=e^x关于直线y=x对称，y=$\frac{4}{x}$关于直线y=x对称，
∴A，B关于直线y=x对称，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{b}}\\{b=\frac{4}{a}}\end{array}\right.$，即ab=4．
∴f（x）=log₂（x+4）-4^x，
作出y=log₂（x+4）与y=4^x的函数图象，如图所示：

由图象可知f（x）有一正一负两个零点．
故选C．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．