Question

13．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． 4π
• C． 2π
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．

解答 解：根据三视图作出棱锥D-ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=$\sqrt{2}$，
取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE=$\frac{1}{2}DC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．
∵AE=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴AH=$\sqrt{A{E}^{2}+E{H}^{2}}$=1．
∴棱锥外接球的体积V=$\frac{4}{3}π×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$．
故选D．

点评 本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的关系，寻找球心是解题关键，属于中档题．