Question

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线x=-2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点，若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由已知得b=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）先求出|PQ|=6，设直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+m$，与$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$联立，得x²+mx+m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式，结合已知能求出四边形APBQ面积的最大值．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
设椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆的离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点．
${x^2}=8\sqrt{3}y$焦点为$（0，2\sqrt{3}）$…（1分）
∴b=2$\sqrt{3}$…（2分）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²+b²=c²，
∴解得a²=16，b²=12，
∴椭圆C的标准方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（4分）
（2）直线 x=-2与椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$交点P（-2，-3），Q（-2，3）或P（-2，-3），Q（-2，3），
∴|PQ|=6，…（5分）
设A （x₁，y₁  ），B（ x₂，y₂），直线AB的方程为 $y=\frac{1}{2}x+m$，
与$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$联立得x²+mx+m²-12=0…（6分）
由△=m²-4（m²-12）＞0，得-4＜m＜4，…（7分）
由韦达定理得x₁+x₂=-m，${x_1}{x_2}={m^2}-12$，…（8分）
由A，B两点位于直线x=-2两侧，得（x₁+2）（x₂+2）＜0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4＜0，∴m²-2m-8＜0，
解得-2＜m＜4，…（9分）
∴S=$\frac{1}{2}$•|PQ|•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$•|PQ|•$\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=3$\sqrt{48-3{m^2}}$，
∴当m=0时，S最大值为$12\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式的合理运用．