Question

已知椭圆C的离心率为

2

2

，椭圆C的右焦点F₂和抛物线y²=4

2

x的焦点重合，椭圆C与y轴的一个交点为N，且F₁是椭圆C的左焦点．
（1）求证：△NF₁F₂是等腰直角三角形；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足

| PA |

| AQ |

=

| PB |

| QB |

，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意解得a²=4，b²=2，所求椭圆方程为 

x2

4

+

y2

2

=1．由此能证明△NF₁F₂是等腰直角三角形．
（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由题可设λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，则λ＞0且λ≠1．由此利用A，P，B，Q四点共线，结合已知条件能推导出点Q的轨迹是直线在椭圆内的部分，方程为2x+y-2=0．

解答： （Ⅰ）证明：由题意解得a²=4，b²=2，
所求椭圆方程为 

x2

4

+

y2

2

=1．
∴F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
∵椭圆C与y轴的一个交点为N，
∴△NF₁F₂是等腰直角三角形．（3分）
（Ⅱ）解：设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题可设λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，则λ＞0且λ≠1．
又A，P，B，Q四点共线，从而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

．
于是4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

，（5分）
从而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=4x，…（1）

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=y，…（2）
又点A、B在椭圆C上，即

x

2 1

+2

y

2 1

=4，…(3)，

x

2 2

+2

y

2 2

=4，…(4)
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4x+2y=4，
即点Q的轨迹是直线在椭圆内的部分，方程为2x+y-2=0．（10分）

点评：本题考查三角形为等腰直角三角形的证明，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．