Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，离心率e=$\frac{1}{2}$，若圆x²+y²=$\frac{12}{7}$与直线AB相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过右焦点F的直线l与椭圆交于M，N两点，使得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$为定值，若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点到直线的距离公式，求得$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{12}{7}$，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a=2c，由椭圆的性质b²+c²=a²，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；
（2）当斜率不存在，求得直线l与椭圆的交点坐标M和N，即可求得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$，直线斜率存在，设出直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，由弦长公式丨MN丨，丨MF丨•丨NF丨，代入即可求得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$的值．

解答 解：（1）由题意可知，AB的直线方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即bx+ay-ab=0，
由圆x²+y²=$\frac{12}{7}$，
由直线与圆相切，由$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{12}{7}}$，即$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\frac{12}{7}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，得a=2c，
又由b²+c²=a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，可得直线l与椭圆的交点坐标为（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），
此时$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{1}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{\frac{3}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
若直线l的斜率存在，设直线方程为：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去y得：（3+4k²）x2-8k²x+（4k²-12）=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₂-x₁丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{2}+{x}_{1}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{2+4{k}^{2}}$，
丨MF丨•丨NF丨=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{y}_{2}^{2}}$，
=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{k}^{2}（{{x}_{1}-1）}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}-1）^{2}+{k}^{2}（{x}_{2}-1）^{2}}$，
=（1+k²）丨x₁-1丨丨x₂-1丨，
=-（1+k²）（x₁-1）（x₂-1），
=-（1+k²）[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]，
=$\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
所以$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{丨MF丨+丨NF丨}{丨MF丨•丨NF丨}$=$\frac{丨MN丨}{丨MF丨•丨NF丨}$=$\frac{\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3}$，
综上所述，存在直线l，使得$\frac{1}{|MF|}$+$\frac{1}{|NF|}$=$\frac{4}{3}$为定值．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系及其应用，韦达定理及弦长公式，考查分类讨论思想及运算能力，属于中档题．