Question

12．如图所示：已知直角梯形ABCO中，∠ABC=∠BCO=90°，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，OA=OC=2，设$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow{OC}$（其中0＜m，n＜1）G为线段MN的中点．
（1）当m=$\frac{1}{2}$时，若O，G，B三点共线，求n的值；
（2）若△OMN的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求|$\overrightarrow{OG}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立直角坐标系，求得A，B，C，M，N，G的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算可得n的值；
（2）求得M，N，G的坐标，由三角形的面积公式，计算可得mn=$\frac{1}{2}$，计算OG的模，由配方，即可得到最小值．

解答 解：（1）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，
建立直角坐标系，可得O（0，0），A（1，$\sqrt{3}$），B（2，$\sqrt{3}$），
C（2，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（2n，0），G（n+$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
由O，G，B三点共线，可得$\overrightarrow{OG}$∥$\overrightarrow{OB}$，
即有$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2=$\sqrt{3}$（n+$\frac{1}{4}$），
解得n=$\frac{1}{4}$；
（2）由$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow{OC}$，可得M（m，$\sqrt{3}$m），N（2n，0），
可得G（n+$\frac{1}{2}$m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
由△OMN的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{1}{2}$×2n×$\sqrt{3}$m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有mn=$\frac{1}{2}$，
则|$\overrightarrow{OG}$|=$\sqrt{（n+\frac{1}{2}m）^{2}+\frac{3}{4}{m}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{m}^{2}+mn}$
=$\sqrt{（m-n）^{2}+3mn}$=$\sqrt{（m-n）^{2}+\frac{3}{2}}$，
当m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|$\overrightarrow{OG}$|取得最小值，且为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查向量的坐标运算，考查向量共线的坐标表示，向量的模的最值，考查三角形的面积公式的运用，属于中档题．