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    已知椭圆M：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    1
    2
    ，左准线方程为x=-4．
    （1）求椭圆M的标准方程；
    （2）已知过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    上一点（x0，y0）作椭圆的切线，切线方程为
    x0x
    a2
    +
    y0y
    b2
    =1    ．现过椭圆M的右焦点作斜率不为0的直线l于椭圆交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线l1，l2．
    ①证明：l1，l2的交点P在一条定直线上；
    ②求△ABP面积的最小值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）根据椭圆M：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    1
    2
    ，左准线方程为x=-4，建立方程组，求出几何量，即可求出椭圆M的标准方程；
    （2）①设直线AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则两切线方程为
    x1x
    4
    +
    y1y
    3
    =1    ，
    x2x
    4
    +
    y2y
    3
    =1    ，可得交点P的纵坐标，进而求出P的横坐标，即可得出结论；
    ②直线AB：x=my+1，代入
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，利用韦达定理，求出弦长|AB|，求出P（4，-3m）到直线AB的距离，可得△ABP面积，换元，即可求出△ABP面积的最小值．
    解答： （1）解：∵椭圆M：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率e=
    1
    2
    ，左准线方程为x=-4，
    ∴
    c
    a
    =
    1
    2
    a2
    c
    =4
    ，∴a=2，c=1，
    ∴b=
    		a2-c2
    =
    		3
    ，
    ∴椭圆M的标准方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （2）①证明：设直线AB：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
    则两切线方程为
    x1x
    4
    +
    y1y
    3
    =1    ，
    x2x
    4
    +
    y2y
    3
    =1    ，
    可得交点P的纵坐标为y=
    3(x2-x1)
    x2y1-x1y2
    =
    3(my2-my1)
    (my2+1)y1-(my1+1)y2
    =-3m，
    上式作差可得
    mx
    4
    +
    y
    3
    =0    ，
    y=-3m代入，可得x=-4，
    ∴l1，l2的交点P在一条定直线x=-4上；
    ②解：P（4，-3m）到直线AB的距离d=
    |-3m2-4+1|
    		1+m2
    ，
    直线AB：x=my+1，代入
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，可得（3m2+4）y2+6my-9=0，
    ∴y1+y2=-
    6m
    3m2+4
    ，y1y2=
    9
    3m2+4
    ，
    ∴|AB|=
    		1+m2
    •|y1-y2|=
    12(m2+1)
    3m2+4

    ∴△ABP面积为S=
    1
    2
    |AB|d=
    18(
    		m2+1
    )3
    3(m2+1)+1
    ，
    设t=
    		m2+1
    ≥1，则S=
    18t3
    3t2+1
    =
    18
    3
    t
    +
    1
    t3
    ，
    令u=
    1
    t
    ∈（0，1]，则S=
    18
    3u+u3
    ，在u∈（0，1]上单调递减，
    ∴当u=1，则t=1，即m=0时，△ABP面积的最小值为
    9
    2
    ．
    点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，难度大．
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    ．

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    A、
    		19
    B、
    		13
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    		7

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    		2
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    1
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    x
    1+x2
    (x＞0)    ，求证：f（x）∈M；
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    1
    x
    )=f(x)    对任意x＞0成立．
    （3）对于任意f（x）∈M，求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g(x+
    1
    x
    )=f(x)    对任意x＞0成立．

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    		3
    3
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    已知二项式（
    3x
    -
    1
    x
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    ．

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    已知
    AB
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    AB
    -
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    的夹角是（　　）
    A、30°B、60°
    C、90°D、120°

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