Question

设集合M={f(x)|x∈(0，+∞)，f(x)=f(

1

x

)}．
（1）已知函数f(x)=

x

1+x2

(x＞0)，求证：f（x）∈M；
（2）对于（1）中的函数f（x），求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得g(x+

1

x

)=f(x)对任意x＞0成立．
（3）对于任意f（x）∈M，求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g(x+

1

x

)=f(x)对任意x＞0成立．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）验证函数的表达式是否满足f（x）=f（

1

x

）．从而得到结论．
（2）利用函数f（x）的解析式，求出g（x+

1

x

）的表达式，然后判断即可．
（3）通过函数的零点，讨论当x＞0时，则g（x+

1

x

），当0＜x＜1时，g（x+

1

x

）当x＞1时，g（x+

1

x

）的表达式是否满足题意即可．

解答： 证明：（1）由f(x)=

x

1+x2

(x＞0)可得，f（

1

x

）=

1 x

1+ 1 x2

=

x

1+x2

，…3分
因此f（x）=f（

1

x

）．又x＞0，∴f（x）∈M．…4分
（2）由f（x）=

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

，
设函数g（x）=

1

x

（x≥2），当x＞0时，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2．…8分
则g（x+

1

x

）=

1

x+ 1 x

=

x

1+x2

=f（x）．…10分
即存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g（x+

1

x

）=f（x）对任意x＞0成立．
（3）当x＞0时，设x+

1

x

=t，则t≥2，
可得x²-tx+1=0，解得x=

t± t2-4

2

，…12分
设函数g（x）=f（

t+ t2-4

2

）（x≥2），当x＞0时，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2．…13分
则g（x+

1

x

）=f（

x+ 1 x + (x+ 1 x )2-4

2

）=f（

x+ 1 x +|x- 1 x |

2

）．…14分
当0＜x＜1时，x≤

1

x

，g（x+

1

x

）=f（

x+ 1 x -x+ 1 x

2

）=f（

1

x

）=f（x）…16分
当x＞1时，x＞

1

x

，g（x+

1

x

）=f（

x+ 1 x +x- 1 x

2

）=f（x）．…18分
即存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g（x+

1

x

）=f（x）对任意x＞0成立．

点评：本题考查函数性质的综合运用，考查学生对探究性理解水平，考查分析问题解决问题的能力．