Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=3a_n-1+4n-2（n≥2）
（1）若{a_n+xn+y}是等比数列，求实数x，y的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+xn+y=3[a_n-1+x（n-1）+y]，（n≥2），由此能求出x=2，y=2．
（2）由{a_n+2n+2}的首项为5，公比为3的等比数列，能求出数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

解答： 解：（1）由已知得a_n+xn+y=3[a_n-1+x（n-1）+y]，（n≥2）
∴a_n=3a_n-1+2xn-3x+2y，n≥2，
∵a_n=3a_n-1+4n-2（n≥2）
∴

2x=4 -3x+2y=-2

，
解得x=2，y=2．…（6分）
（2）∵x=2，y=2，
∴{a_n+2n+2}是首项为5，公比为3的等比数列，

∴an+2n+2=5•3n-1，an=5•3n-1-2n-2 Sn= 5 2 (3n-1)-n(n+3)= 5 2 3n-n(n+3)- 5 2 .

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查数列的通项公式及前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．