Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x³+bx²+cx，∴f'（x）=3x²+2bx+c．
从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，
当g'（x）＞0时，x＜-

2

或x＞

2

，
当g'（x）＜0时，-

2

＜x＜

2

，
由此可知，(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)是函数g(x)的单调递增区间；(-

2

，

2

)是函数g(x)的单调递减区间；
g（x）在x=-

2

时取得极大值，极大值为4

2

，g（x）在x=

2

时取得极小值，极小值为-4

2

．