Question

13．将离心率为e₁的双曲线C₁的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e₂的双曲线C₂，则（　　）

• A． 对任意的a，b，e₁＞e₂
• B． 当a＞b时，e₁＞e₂；当a＜b时，e₁＜e₂
• C． 对任意的a，b，e₁＜e₂
• D． 当a＞b时，e₁＜e₂；当a＜b时，e₁＞e₂

Answer 1

分析 分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．

解答 解：由题意，双曲线C₁：c²=a²+b²，e₁=$\frac{c}{a}$；
双曲线C₂：c′²=（a+m）²+（b+m）²，e₂=$\frac{\sqrt{（a+m）^{2}+（b+m）^{2}}}{a+m}$，
∴${{e}_{1}}^{2}-{{e}_{2}}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{（b+m）^{2}}{（a+m）^{2}}$=$\frac{（b-a）（2abm+b{m}^{2}+a{m}^{2}）}{{a}^{2}（a+m）^{2}}$，
∴当a＞b时，e₁＜e₂；当a＜b时，e₁＞e₂，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．