Question

已知点P（x₀，y₀）是椭圆E：

x2

4

+y²=1任意一点，直线m的方程为

x0x

4

+y₀y=1．
（1）判断直线m与椭圆E交点的个数；
（2）过点（2，3）作动直线l交椭圆E于两个不同的点P、Q，过P、Q作椭圆的切线，两条切线的交点为M，设O为坐标原点，当四边形POQM的面积为4时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线m的方程与椭圆E：

x2

4

+y²=1联立，消去y，并整理，结合点P（x₀，y₀）是椭圆E：

x2

4

+y²=1任意一点，即可得出结论；
（2）设l：y=k（x-2）+3，与椭圆E：

x2

4

+y²=1联立，消去y，并整理，求出|PQ|，到PQ的距离，M到PQ的距离，利用四边形POQM的面积为4，求出k，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）直线m的方程与椭圆E：

x2

4

+y²=1联立，消去y，并整理得（y₀²+

x02

4

）x²-2x₀x+4-4y₀²=0
∵点P（x₀，y₀）是椭圆E：

x2

4

+y²=1任意一点，
∴x²-2x₀x+x₀²=0，
∴△=4x₀²-4x₀²=0，
故直线m与椭圆E只有一个交点；
（2）设l：y=k（x-2）+3，与椭圆E：

x2

4

+y²=1联立，消去y，
并整理得（1+4k²）x²+8k（3-2k）x+4（4k²-12k+8）=0
△=64（3k-2）＞0，可得k＞

2

3

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则过P，Q的椭圆的切线方程分别为

x1x

4

+y₁y=1①，

x2x

4

+y₂y=1②
①×x₂-②×x₁，结合y₁=k（x₁-2）+3，y₂=k（x₂-2）+3，得y=

1

3-2k

（k≠

3

2

），
同理x=

-4k

3-2k

（k≠

3

2

），
|PQ|=

64(3k-2)(1+k2)

1+4k2

，O到PQ的距离d₁=

|3-2k|

1+k2

，M到PQ的距离d₂=

4|3k-2|

|3-2k| 1+k2

，
∴d₁+d₂=

4k2+1

|3k-2| 1+k2

，
四边形POQM的面积S=

1

2

（d₁+d₂）|PQ|=

4 3k-2

|3-2k|

=4，
∴k=1或k=

11

4

，
∴直线l的方程为x-y+1=0或11x-4y-10=0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的切线方程，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度．