Question

已知sinα+cosα=

1

5

，π＜α＜2π，则cos

α

2

=

 

．

Answer 1

考点：半角的三角函数,三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：根据同角的三角函数关系式以及余弦函数的倍角公式即可得到结论．

解答： 解：∵sinα+cosα=

1

5

，π＜α＜2π，
∴平方得1+2sinαcosα=

1

25

，
即2sinαcosα=

1

25

-1=-

24

25

＜0，
∵sinα＜0，∴cosα＞0，
则cosα-sinα=

(cosα-sinα)2

=

1-2sinαcosα

=

1+ 24 25

=

49 25

=

7

5

，
解得cosα=

4

5

，
∵π＜α＜2π，∴

π

2

＜

α

2

＜π，
∴cos

α

2

＜0，
∵cosα=2cos²

α

2

-1=

4

5

，
∴2cos²

α

2

=

9

5

，cos²

α

2

=

9

10

，
则cos

α

2

=-

9 10

=-

3 10

10

，
故答案为：-

3 10

10

点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据同角的三角函数关系式以及余弦函数的倍角公式是解决本题的关键．