Question

6．设函数f（x）=x²+2x+a，若函数y=f（f（x））有且只有2个不同的零点，则实数a的取值范围为$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a=1．

Answer 1

分析 利用换元法，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：由题意，[f（x）]²+2f（x）+a=0有2个根，
判别式△=0，即4-4a=0，解得a=1，f（x）=-1，x²+2x+1=-1，有2个根，满足题意；
判别式△＞0，即4-4a＞0，解得a＜1，则
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值为a-1，
∴（a-1+1）²+a-1＜0
∴$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
综上，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a=1．
故答案为：$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或a=1．

点评 本题主要考查函数零点个数的应用，正确分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．