Question

已知一个圆锥的侧面积是它的内切球的表面积的2倍，求它的侧面积与底面积的比．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，内切球半径为R，内切球半径为R，则圆锥的侧面积与底面积的比为

l

r

，结合圆锥的侧面积是它的内切球的表面积的2倍，构造关于

l

r

的方程，解方程可得答案．

解答： 解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
则圆锥的侧面积S_侧=πrl，
底面积S_底=πr²，
∴圆锥的侧面积与底面积的比为

l

r

=

1

cost

（其中t为侧面与底面夹角）
设内切球半径为R，
则圆锥的内切球面积S_球=4πR²，
∵圆锥的侧面积是它的内切球的表面积的2倍，
∴πrl=8πR²，即rl=8R²，
又∵

R

r

=tan

t

2

，
∴

l

r

=8tan²（

t

2

）=

8(1-cost)

1+cost

=

8(1- 1 l r )

1+ 1 l r

解得：

l

r

=

7- 17

2

点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．