Question

已知定义在（0，+∞）上的函数满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0，求f（x）的单调性．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：不妨设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，根据条件得到f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），又当x＞1时，f（x）＜0，从而得到
f（x₁）＜f（x₂），由函数的单调性定义即可得到结论．

解答： 解：令x₁＞x₂＞0，
则

x1

x2

＞1，
∵定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
∴f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
又当x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
由函数的单调性定义，得，
函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．

点评：本题考查函数的单调性及运用，注意定义的应用，考查解决抽象函数的常用方法，是一道基础题．