Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对所有的正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，求：数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，可得Sn=

1

8

(an+2)2，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，
∴

1

2

(an+2)=

2Sn

，即Sn=

1

8

(an+2)2．  …（2分）
当n=1时，S1=

1

8

(a1+2)2⇒a1=2； …（3分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

8

[(an+2)2-(an-1+2)2]，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，…（5分）
又∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=4，
可知{a_n}是公差为4的等差数列．  …（7分）
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2． …（8分）

点评：本题考查等差数列的性质，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．