【题目】对于函数,若在定义域内存在实数x,满足
,其中k为整数,则称函数
为定义域上的“k阶局部奇函数”.
(1)已知函数,试判断
是否为
上的“2阶局部奇函数”?并说明理由;
(2)若是
上的“1阶局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若,对任意的实数
,函数
恒为
上的“k阶局部奇函数”,求整数k取值的集合.
【答案】(1)是,理由见解析;(2);(3)
【解析】
(1)根据题意,为
上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程
在
上有解,列出方程,解方程即可;
(2)由“1阶局部奇函数”的定义,列出方程,讨论方程成立并有解时参数的取值范围;
(3)根据“k阶局部奇函数”的定义,转化对任意的实数,函数
恒为
上的“k阶局部奇函数”,为
对任意的实数
恒成立问题,讨论二次项系数是否为零,不为零时讨论
恒成立,再令
,求解
,即可.
(1)为
上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程
在
上有解,即:
,
化简得:,
解得:
所以是
上的“2阶局部奇函数”.
(2)由是
上的“1阶局部奇函数”,
且要满足
,所以
.
因为是
上的“1阶局部奇函数”,等价于关于x的方程
在有解,即
,化简得:
,
所以,
又,所以
.
(3)因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程
恒有解.
即,化简得:
,
当时,解得
,所以
满足题意;
当时,
,即:
对任意的实数
恒成立,
即对任意的实数
恒成立,
令,
是关于t的一次函数且为
上的增函数
则,即:
,解得:
且
综上,整数k取值的集合.
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【题目】已知圆M: ,直线l:
,下面五个命题,其中正确的是( )
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
B.对任意实数k与θ,直线l与圆M都相离;
C.存在实数k与θ,直线l和圆M相离;
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切:
E.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切;
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【题目】对于函数,若存在定义域中的实数
,
满足
且
,则称函数
为“
类” 函数.
(1)试判断,
是否是“
类” 函数,并说明理由;
(2)若函数,
,
为“
类” 函数,求
的最小值.
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【题目】近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视,某企业在现有设备下每日生产总成本(单位:万元)与日产量
(单位:吨)之间的函数关系式为
,现为了配合环境卫生综合整治,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为
万元,除尘后当日产量
时,总成本
.
(1)求的值;
(2)若每吨产品出厂价为48万元,试求除尘后日产量为多少时,每吨产品的利润最大,最大利润为多少?
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【题目】某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名均为初级教师的概率。
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【题目】已知,
,函数
.
(1)若,且
,求
的值;
(2)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若关于的方程
在
上有两个不同的实数根
,求正数
的取值范围.
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