Question

设集合A={1，2，3，…8，9}当x∈A时，若有x+1∉A且x-1∉A则称元素x是集合A的一个孤立元．在集合A中任取3个不同的数．
（Ⅰ）求这3个数中恰有1个是奇数的概率；
（Ⅱ）设ξ为这3个数中孤立元的个数（例如：若取出的数为1，2，4，则孤立元为4，此时ξ的值是1），求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（I）分别求出在集合A中任取3个不同的数的情况总数及这3个数中恰有1个是奇数的情况数，代入古典概型概率公式，可得答案；
（II）由已知中可得ξ的取值有0，1，3三种情况，进而根据古典概型概率公式，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．

解答： 解：（I）∵集合A={1，2，3，…8，9}共有9个元素
故在集合A中任取3个不同的数共有

C

3 9

种不同情况；
其中恰有1个是奇数有

C

1 5

C

2 4

种不同情况；
故这3个数中恰有1个是奇数的概率P=

C 1 5 C 2 4

C 3 9

=

5

14

（II）由孤立元的定义可得
从集合A中任取3个不同的数孤立元可能有0个，1个或3个
即ξ的取值为0，1，3
∵P（ξ=0）=

7

C 3 9

=

1

12

P（ξ=1）=

42

C 3 9

=

6

12

∴P（ξ=3）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）=

5

12

∴随机变量ξ的分布列为

	0	1	3
P	1 12	6 12	5 12

则随机变量ξ的数学期望Eξ=0×

1

12

+1×

6

12

+3×

5

12

=

7

4

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大