Question

如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交于圆O与B，C两点，PA=10，PB=5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求

AB

AC

=

PA

PC

；
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,相似三角形的性质

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）证明△PAB∽△PCA，可得

AB

AC

=

PA

PC

；
（Ⅱ）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（4分）
（Ⅱ）∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=20，BC=15，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=225，
又由（Ⅰ）知

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，∴AC=6

5

AB=3

5

，
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
∴AD•AE=AB•AC=3

5

×6

5

=90．    …（10分）

点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用．