Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S=

3

（a²+b²-c²）
（1）求角C的大小；
（2）f（x）=4sinxcos（x+

π

6

）+1，当x=A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角形的面积公式表示出S，代入已知等式后利用余弦定理化简，求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出f（x）取得最大值时A与b的值，再利用锐角三角函数定义求出a与c的值，即可确定出S．

解答： 解：（1）∵S=

1

2

absinC，∴4S=2absinC=

3

（a²+b²-c²），
即sinC=

a2+b2-c2

2ab

•

3

=

3

cosC，
∴tanC=

3

，
则C=

π

3

；
（2）f（x）=4sinx（

3

2

cosx-

1

2

sinx）+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

（k∈Z）时，f（x）_max=2，
∵A为三角形内角，∴A=

π

6

，b=2，
∴B=π-A-C=

π

2

，a=bsinA=1，c=bsinC=

3

，
则S=

1

2

acsinB=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．