练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1．
    求证：（Ⅰ）a+b+c≥
    		3
    ；
    （Ⅱ）
    a
    bc
    +
    b
    ca
    +
    c
    ab
    ≥
    		3
    （
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ）．
    考点：不等式的证明
    专题：选作题,不等式
    分析：（Ⅰ）由题意可得，只需证（a+b+c）2≥3，只需证a2+b2+c2≥1，只需证a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，只需证
    （a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0；
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c≥
    		3
    ，证明
    a
    bc
    +
    b
    ca
    +
    c
    ab
    ≥
    		3
    （
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ），只需证明
    1
    		abc
    ≥
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ，结合基本不等式，即可得证．
    解答： 证明：（Ⅰ）要证原不等式成立，只需证（a+b+c）2≥3，即证a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，
    又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2≥1，即a2+b2+c2-1≥0，
    因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，
    只需证：2a2+2b2+2c2-2（ab+bc+ca）≥0，
    即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，而（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0显然成立，
    故原不等式成立；
    （Ⅱ）∵
    a
    bc
    +
    b
    ca
    +
    c
    ab
    =
    a+b+c
    		abc
    ，
    由（Ⅰ）知，a+b+c≥
    		3
    ，
    ∴证明
    a
    bc
    +
    b
    ca
    +
    c
    ab
    ≥
    		3
    （
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ），
    只需证明
    1
    		abc
    ≥
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ，
    即证明：a
    		bc
    +b
    		ac
    +c
    		ab
    ≤ab+bc+ca，
    ∵a
    		bc
    ≤
    ab+ac
    2
    ，b
    		ac
    ≤
    ab+bc
    2
    ，c
    		ab
    ≤
    ac+bc
    2
    ，
    ∴a
    		bc
    +b
    		ac
    +c
    		ab
    ≤ab+bc+ca，
    ∴
    a
    bc
    +
    b
    ca
    +
    c
    ab
    ≥
    		3
    （
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ）．
    点评：本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面（　　）
    A、若α∥β，a?α，b?β，则a∥b
    B、若α⊥β，a∥β，则a⊥α
    C、若a⊥α，a⊥b，a∥β，则b∥β
    D、若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：f（x）=
    1
    x
    ，f（x）=log3（x2+1），f（x）=2x+2-x，f（x）=2x-2-x，则输出的函数是（　　）
    A、f（x）=
    1
    x
    B、f（x）=log3（x2+1）
    C、f（x）=2x+2-x
    D、f（x）=2x-2-x

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4相离，那么点P（a，b）与圆C的位置关系是（　　）
    A、在圆内B、在圆上
    C、在圆外D、不确定

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知等差数列{an}，a2+a18=36，则a5+a6+…+a15=（　　）
    A、130B、198
    C、180D、156

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若二项式（3x-
    1
    		x
    ）n展开式中各项系数的之和为64，则该展开式中常数项为
     
    （用数字作答）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ax3+cx+d （a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
    （1）求函数f（x）的解析式．
    （2）求函数f（x）的单调区间和极大值．
    （3）证明：对任意x1，x2∈（-1，1），不等式|f（x1）-f（x2）|＜4恒成立．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且4S=
    		3
    （a2+b2-c2）
    （1）求角C的大小；
    （2）f（x）=4sinxcos（x+
    π
    6
    ）+1，当x=A时，f（x）取得最大值b，试求S的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，内角A，B，C成等差数列且其对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=
    		3
    ．
    （Ⅰ）求边b的值；
    （Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案