Question

如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D．连结CF交AB于E点．
（Ⅰ）求证：DE²=DB•DA；
（Ⅱ）若⊙O的半径为4

3

，OB=

3

OE，求EF的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理即可证明DE²=DB•DA；
（2）由圆中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．

解答： （Ⅰ）证明：连结OF．
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°．
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE．
∵DF是⊙O的切线，
∴DF²=DB•DA．
∴DE²=DB•DA  …（5分）
（Ⅱ）解：由题意，OE=

1

3

OB=4，CO=4

3

，CE=

CO2+OE2

=8．
∵CE•EF=AE•EB=（4

3

+4）（4

3

-4）=32，
∴EF=4．  …（10分）

点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于基础题之列．