【题目】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AB的中点.
(Ⅰ)求证:CD平面ABB1A1;
(Ⅱ)求证:BC1∥平面A1CD.
【答案】(1) 证明见解析.
(2) 证明见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)通过线面垂直的性质,可以利用CD垂直AB,CD垂直AA1来证明CD垂直平面ABB1A1。(Ⅱ)通过利用中线定理,可以得到BC1 //OD,又由线面平行的判断可以推出,B C1// 平面 A 1C D.
详解:(Ⅰ)因为正三棱柱 ABC-A1B1C1, D为 AB的中点,
所以 CD⊥AB, AA1⊥底面 ABC.又因为 CD底面 ABC,
所以 AA1⊥CD.
又因为 AA1AB=A,AB
平面 ABB1A1, AA1
平面 ABB1A1,
所以 CD⊥平面 ABB1A1.
(Ⅱ)连接 AC1,设 A1CAC1=O,连接 OD,
由正三棱柱 ABC-A1B1C1,得 AO=OC1,
又因为在 ABC-A1B1C1中,AD=DB ,
所以 OD//BC1
又因为BC1平面 A1CD, OD
平面 A1CD,
所以 BC1//平面 A1CD.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点为平面上一动点,
到直线
的距离为
,
.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)不过原点的直线
与
交于
两点,线段
的中点为
,直线
与直线
交点的纵坐标为1,求
面积的最大值及此时直线
的方程.
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率.
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg | 箱产量≥50kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2=
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【题目】已知椭圆:
经过
,且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率存在的直线与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,
,且
与圆心为
的定圆
相切.直线
:
(
)与圆
交于
两点,
.求
面积的最大值.
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,椭圆C和抛物线y2=x交于M,N两点,且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A,B两点,点P在椭圆上,且 =2
,其中O为坐标原点,求直线l的斜率.
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【题目】设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,三棱柱A1B1C1 - ABC中,侧棱AA1丄底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是
A. CC1与B1E是异面直线 B. AC丄平面ABB1A1
C. A1C1∥平面AB1E D. AE与B1C1为异面直线,且AE丄B1C1
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