Question

5．在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{m}$=（c，a+b），$\overrightarrow{n}$=（a-b，acosB-$\frac{1}{2}$b），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（I）求角A；
（II）若a=$\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据平面向量的共线定理，利用余弦定理即可求出A的值；
（II）由正弦定理求出b、c的表达式，计算b+c的取值范围即可．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，∴c•（acosB-$\frac{1}{2}$b）-（a+b）（a-b）=0，
即c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²，-----（1分）
由余弦定理得
a²+c²-b²-bc=2a²-2b²，a²=b²+c²-bc；------（3分）
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴cosA=$\frac{1}{2}$；--------（4分）
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；--------（5分）
（II）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC-----（6分）
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）-------（7分）
=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB
=2sinB+2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+2×$\frac{1}{2}$sinB
=3sinB+$\sqrt{3}$cosB
=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）；--------（9分）
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]；--------（11分）
所以b+c∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．--------（12分）

点评 本题考查了平面向量的共线定理以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．