Question

15．设函数f（x）=a•e^x-1（a为常数），且$f（-1）=\frac{2}{e^2}$
（1）求a值；
（2）设$g（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜2\\{log_3}（x-1）\begin{array}{l}{\;}&{x≥2}\end{array}\end{array}\right.$，求不等式g（x）＜2的解集．

Answer 1

分析 （1）将x=-1代入解析式，由指数的运算性质求出a的值；
（2）由（1）化简g（x）的解析式，对x进行分类讨论，分别根据指数函数、对数函数的性质列出不等式，求出对应的解，最后并结果并在一起．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a•e^x-1（a为常数），
∴$f（-1）=a•{e}^{-1-1}=\frac{2}{{e}^{2}}$，即$a•\frac{1}{{e}^{2}}=\frac{2}{{e}^{2}}$，
则a=2；
（2）由（1）得，f（x）=2•e^x-1，
则$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＜2}\\{lo{g}_{3}^{（x-1）}，\left.\begin{array}{l}{x≥2}\end{array}\right.}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2•{e}^{x-1}，x＜2}\\{lo{g}_{3}^{（x-1）}，\left.\begin{array}{l}{x≥2}\end{array}\right.}\end{array}\right.$，
①当x＜2时，不等式g（x）＜2为2•e^x-1＜2，
即e^x-1＜1=e⁰，解得x＜1，
②当x＜2时，不等式g（x）＜2为${log}_{3}^{（x-1）}$＜2，
即${log}_{3}^{（x-1）}$＜${log}_{3}^{9}$，则0＜x-1＜9，
解得1＜x＜10，
综上可得，不等式的解集是（-∞，1）∪（1，10）．

点评 本题考查了对数不等式、指数不等式的解法，以及对数函数、指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，化简、计算能力．