Question

已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A、B.

(1)若AB＝，求k的值；

(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.

 

Answer 1

（1）k＝±1.（2）见解析

【解析】(1)【解析】
由题意知＝，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，

∴椭圆的方程为＋y2＝1.由得(2k2＋1)x2－kx－＝0.

Δ＝k2－4(2k2＋1)×＝16k2＋＞0恒成立，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.

∴AB＝·|x1－x2|＝，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.

(2)证明：∵＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

∴＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝－－＋＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.