【题目】为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数在区间
上的最值;
(Ⅱ)当时,设函数
(其中
为常数)的3个极值点为
,且
,将
这5个数按照从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)最大值为,最小值为
;(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,判断函数的单调性,即可得到最值;(Ⅱ)
这
个数按照从小到大的顺序为
.求出
的导数,求得极值点
,再令
,求出导数,求得最小值,求得单调区间,即可判断
,
与
的大小.
试题解析:(Ⅰ).
令,可得
.列表如下:
故函数的单调减区间为
,
;单调增区间为
.
即函数在
上单调递减,在
上单调递增.
又因为,
,
,
,
所以函数在
区间上的最大值为
,最小值为
.
(Ⅱ)由题意,
,
令函数,有
,
当时,
;当
时,
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
因为函数有3个极值点
,
从而,所以
.
当时,
,
,
从而3个极值点中,有一个为,有一个小于
,有一个大于1.
又,所以
,
,
.
即,
,故
.
即这5个数按照从小到大的顺序为0,,
,1,
.
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【题目】如图所示,在△ABC中,a=b·cos C+c·cos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,在四面体PABC中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.写出对四面体性质的猜想,并证明你的结论
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
.
(1)求曲线的普通方程,并将
的方程化为极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程为
,其中
满足
,若曲线
与
的公共点都在
上,求
.
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【题目】在一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次.在处每投进一球得3分;在
处每投进一球得2分.如果前两次得分之和超过3分就停止投篮;否则投第三次. 某同学在
处的投中率
,在
处的投中率为
.该同学选择先在
处投一球,以后都在
处投,且每次投篮都互不影响.用
表示
该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为:
0 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0.03 |
(1)求的值;
(2)求随机变量的数学期望
;
(3)试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在处投篮得分超过3分的概率的大小.
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【题目】设数据是郑州市普通职工
个人的年收入,若这
个数据的中位数为
,平均数为
,方差为
,如果再加上世界首富的年收入
,则这
个数据中,下列说法正确的是( )
A. 年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D. 年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
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【题目】某市为增强市民的环境保护意识, 面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取名按年龄分组: 第
组
,第2 组
,第
组
,第
组
,第
组
,得到的频率分布直方图如图所示,
(1)若从第组中用分层抽样的方法抽取
名志愿者参与广场的宣传活动, 应从第
组各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下, 该县决定在这名志愿者中随机抽取
名志愿者介绍宣传经验, 求第
组至少有—名志愿者被抽中的概率.
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【题目】已知函数的图象上有一点列
,点
在
轴上的射影是
,且
(
且
),
.
(1)求证: 是等比数列,并求出数列
的通项公式;
(2)对任意的正整数,当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(3)设四边形的面积是
,求证:
.
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