Question

1．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$$-\overrightarrow{a}$＞=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由向量的平方即为模的平方，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{a}$²=8$\overrightarrow{b}$²，再由向量的夹角公式可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$$-\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$，代入化简即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，可得
（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=9$\overrightarrow{b}$²，
即有$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=9$\overrightarrow{b}$²，
即为$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{a}$²=8$\overrightarrow{b}$²，
可得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$²=-8$\overrightarrow{b}$²，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$$-\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-8{\overrightarrow{b}}^{2}}{2\sqrt{2}|\overrightarrow{b}|•3|\overrightarrow{b}|}$
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的夹角公式，考查向量的数量积的性质：斜率的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．