【题目】2015年7月9日21时15分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆,造成165.17万人受灾,5.6万人紧急转移安置,288间房屋倒塌,46.5千公顷农田受灾,直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假,小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成,,,,五组,并作出如图频率分布直方图:
(1)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款,现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助,设抽出损失超过8000元的居民为户,求的分布列和数学期望;
(3)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如图,根据图表格中所给数据,分别求,,,,,,的值,并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
经济损失不超过4000元 | 经济损失超过4000元 | 合计 | |
捐款超过500元 | |||
捐款不超过500元 | |||
合计 |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:临界值表参考公式:,.
【答案】(1)(2)(3)有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据频率分布直方图,即可估计小区平均每户居民的平均损失;
(Ⅱ)由频率分布直方图可得,损失不少于6000元的居民共有(0.00003+0.00003)×2000×50=6户,损失为6000~8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户,损失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3户,即可求这两户在同一分组的概率;
(Ⅲ)由频率分布直方图及所给2×2列联表得b,c,a+b,c+d,a+c,b+d,a+b+c+d的值,并求出K2,与临界值比较,即可得出结论.
试题解析:(1)记每户居民的平均损失为元,
则
.
(2)由频率分布直方图,可得超过4000元的居民共有户,损失超过8000元的居民共有户,
因此的可能值为0,1,2,
,,,
的分布列为:
0 | 1 | 2 | |
.
(3)解得,,,,,,,
,
所以有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.
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【题目】设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足a2+c2-b2=ac.
(1)求角B的大小;
(2)若2bcos A=(ccosA+acosC),BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
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【题目】函数图象上不同两点,处切线的斜率分别是,规定(为线段的长度)叫做曲线在点与之间的“平方弯曲度”,给出以下命题:
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2,则;
②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“平方弯曲度”为常数;
③设点,是抛物线上不同的两点,则;
④设曲线(是自然对数的底数)上不同两点,,且,则的最大值为.
其中真命题的序号为__________(将所有真命题的序号都填上)
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=+-1,且an>0,n∈N*.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明(1)中的猜想.
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【题目】已知函数f(x)=2ax-x2-3ln x,其中a∈R,为常数.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最大值.
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【题目】如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,E,F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M,N两点,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个结论:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②直线AC∥平面MENF始终成立;
③四边形MENF周长L=f(x),x∈[0,1]是单调函数;
④四棱锥C′-MENF的体积V=h(x)为常数;
以上结论正确的是__________.
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【题目】已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若是椭圆的左顶点,经过左焦点的直线与椭圆交于, 两点,求与的面积之差的绝对值的最大值.(为坐标原点)
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