Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的值域；

（2）若为奇函数，求实数的值；

（3）若关于的方程在区间上无解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，结合不等式的基本性质可求出函数的值域；

（2）由求出，再利用奇函数的定义证明函数为奇函数；

（3）由（2）知函数为奇函数，且为增函数，由可得出，可得出方程在上无解，构造函数，分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质列出关于的不等式（组）求解.

（1），，则，因此，函数的值域为；

（2）为奇函数，且定义域为，

则，解得，此时，，

则，

所以，函数为奇函数；

（3）由（2）知，函数为奇函数，

由，可得，

即，

由于函数在上为增函数，

，即，

由题意可知，方程在上无解.

构造函数，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，即当时，则函数在区间上单调递增，

所以，，即，解得或，此时；

②当时，即当时，由于，

则，解得，此时；

③当时，即当时，则函数在区间上单调递减，

所以，，即，解得或，此时.

综上所述，实数的取值范围是.