Question

【题目】动点到定点的距离之比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两个不同的点，过点分别作曲线的切线，且二者相交于点.

（1）求曲线的方程；

（2）求证：；

（3）求 的面积的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)．(Ⅱ) 见解析；(Ⅲ)4．

【解析】

试题分析:（1）根据抛物线定义确定曲线的方程；（2）根据导数求得切线斜率，利用点斜式写出切线方程，解方程组可得交点坐标，最后利用向量数量积为零证明结论（3）三角形高为，根据抛物线定义求焦点弦长，根据三角形面积公式得关于斜率函数关系式，最后解函数最值得结论

试题解析：(Ⅰ)解：由已知，动点P在直线上方，条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线距离

∴动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线为准线的抛物线

故其方程为．

(Ⅱ)证：设直线AB的方程为：

由得：

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则

由得：，∴

∴直线AM的方程为：　①

直线BM的方程为：　②

①－②得：，即

将代入①得：

∴

故∴

∴

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点M到AB的距离

∵

∴

∴当k = 0时，△ABM的面积有最小值4．