Question

【题目】如图一，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，且该四棱锥的俯视图和侧视图如图二所示.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)．

【解析】

试题分析:（1）由勾股定理可得BC⊥BD，再由线面垂直性质定理得BC⊥PD，因此由线面垂直判定定理得BC⊥平面PBD，最后根据面面垂直判定定理得结论（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组求得各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系求结果

试题解析：(Ⅰ)证：由俯视图可得

∴BC⊥BD

又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD

而PD∩BD＝D，故BC⊥平面PBD

∵BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PBD．

(Ⅱ)解：由侧视图可得MD = 3

由俯视图及ABCD是直角梯形得：

∴

以为x轴、y轴、z轴建立的空间直角坐标系D－xyz，

则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)

设平面AMB的法向量为n1 = (x1，y1，z1)，则，即

令，则，∴是平面AMB的一个法向量

设平面BMC的法向量为n2 = (x2，y2，z2)，则，即

令x2 = 3，则，∴是平面BMC的一个法向量

又由图可知，二面角A－BM－C为钝二面角

∴二面角A－BM－C的余弦值为．