Question

【题目】已知抛物线x2=4y，圆C：x2+（y﹣2）2=4，点M（x0 ， y0），（x0＞0，y0＞4）为抛物线上的动点，过点M的圆C的两切线，设其斜率分别为k1 ， k2
（Ⅰ）求证：k1+k2= ，k1k2= ．
（Ⅱ）求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）证明：设切线方程y﹣y0=k（x﹣x0），即kx﹣y+y0﹣kx0=0， 切线与x轴交为（ ，0），圆心到直线的距离d= =2
整理得：
由两切线的斜率分别为k1 ， k2
则k1+k2= ，k1k2= ，
（Ⅱ）S= |（ ）﹣（ ）|y0
= y02
= y02
= y02
=
=
=2[ +（y0﹣4）+8]
≥2（2 +8）
=32．
当且仅当 =y0﹣4，即y0=8时取等号．
故两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值为32
【解析】（I）设切线：y﹣y0=k（x﹣x0），切线与x轴交于点（ ，0），圆心到切线的距离d= =2，结合韦达定理，可得k1+k2= ，k1k2= ．（Ⅱ）求出过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的表达式，由基本不等式可求出两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值．