Question

3．已知抛物线y²=4x的准线与双曲线4x²-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率为$\frac{{\sqrt{57}}}{3}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程求出抛物线的准线方程和焦点坐标，结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可．

解答 解：由抛物线的标准方程得抛物线的准线为x=-1，抛物线的焦点F（1，0），
将x=-1代入双曲线方程得4-$\frac{y^2}{b^2}$=1，即$\frac{y^2}{b^2}$=3，则y=±$\sqrt{3}$b，
设A（-1，$\sqrt{3}$b），B（-1，-$\sqrt{3}$b），
∵△FAB为直角三角形，
∴tan45°=$\frac{\sqrt{3}b}{2}$=1，则b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
则双曲线的方程为4x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，
即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-$\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1，则a=$\frac{1}{2}$，
c=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{57}}{6}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{57}}{6}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{{\sqrt{57}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{57}}}{3}$

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的性质建立方程是解决本题的关键．