Question

如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，则点P分有向线段

AM

所成的比为

 

．

Answer 1

分析：设

BM

=

a

，

CN

=

b

，求出

AM

 和

BN

 的解析式，由三点共线得

AP

=λ 

AM

，

BP

=μ

BN

，进而求出

BA

 的解析式，又 

BA

=

BC

+

CA

=2

a

+3

b

，比较系数，建立关于λ、μ的方程，解方程求λ、μ的值，结果可得．

解答：解：如图：设

BM

=

a

，

CN

=

b

，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，
则

AM

=

AC

+

CM

=-3

b

-

a

，

BN

=

BC

+

CN

=2

a

+

b

，
∵A、P、M共线，B、N、P 共线，∴存在λ、μ使

AP

=λ 

AM

=-λ

a

-3λ

b

，

BP

=μ

BN

=2μ

a

+μ

b

，
∴

BA

=

BP

-

AP

=（2μ+λ）

a

+（μ+3λ）

b

，
又 

BA

=

BC

+

CA

=2

a

+3

b

，∴

λ+2μ=2 3λ+μ=3

，
∴

λ= 4 5 μ= 3 5

，∴

AP

=

4

5

 

AM

，∴

AP

：

PM

=4，
故答案为：4．

点评：本题考查平面向量基本定理的应用，三点共线的性质以及定比分点的定义．