【题目】已知函数,下列说法正确的是__________.
的值域是
;
当
时,方程
有两个不等实根;
若函数
有三个零点时,则
;
经过
有三条直线与
相切.
【答案】①②③
【解析】
①:结合导数,用函数的单调性和奇偶性,求得的值域;②利用导数,证得方程
有两个不等实根;③根据
为偶函数,故可先考虑
的情况,再由对称性得到
的情况.当
时,首先确定
是函数
的零点,令
,分离常数
,利用导数求得
的取值范围.再根据对称性,求得
的取值范围.④利用导数,求得过
的切线的条数.
①函数的定义域为
,且
,所以
为偶函数,图像关于
轴对称.当
时,
,
,
.令
解得
,所以
在
上递减,在
上递增,
,所以
,所以
在
上单调递增,从而
.由于
为偶函数,所以
在
上单调递减,且
.所以
的值域是
.故①正确.
②显然,是方程
的根.方程
可化为
.当
时,即
.根据①的分析,结合图像可知,当
时
与
的图像没有公共点.故只需考虑
的情况.由
得
,即
.构造函数
,
,
,令
,解得
.所以
在
上递减,在
上递增,且
,所以存在
,使得
.故
在
上递减,在
上递增.
,所以存在
,使
.综上所述,当
时,方程
有两个不等实根成立,故②正确.
③为偶函数,故可先考虑
的情况.当
时,函数
为
,故方程
有三个不相等的实数根.首先
是方程
的根.
先证:令
,
,
,令
解得
.所以
在
上递减,在
上递增.
,当
,
.若
,即
,则
在区间
上先减后增,在区间
上至多只有两个零点,不符合题意.故
.
故下证:当
时,由
得
有两个不同的实数根.构造函数
,
.令
,
,
,所以
在
上单调递增,所以当
时,
.所以由
可知
在
上递减,在
上递增,所以
在
处取得极小值也即是最小值
,所以
.
综上所述,的取值范围是
.由于
为偶函数,根据函数图像的对称性可知
的取值范围是
.故③正确.
④当时,设经过点
的切线的切点为
,
,
,故切线方程为
,将
代入上式得
,化简得
.令
,
,
,所以
在
上单调递增.所以方程
解得
或
.所以当
时,
有两条切线.根据
为偶函数,所以当
时,
也有两条切线方程. 所以经过
有四条直线与
相切,④错误.
特别的,当时,
,
,即当
时,
在
处的切线的斜率为
.当
时,
,即当
时,
在
处的切线的斜率为
.
故答案为:①②③
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长,随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时),按照共6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表1、2),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”.
表1:男生
时长 | ||||||
人数 | 2 | 8 | 16 | 8 | 4 | 2 |
表2:女生
时长 | ||||||
人数 | 0 | 4 | 12 | 12 | 8 | 4 |
(1)从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人,求选到“运动达人”的概率;
(2)根据题目条件,完成下面列联表,并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.
每周运动的时长小于15小时 | 每周运动的时长不小于15小时 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下:
甲地:总体平均数为3,中位数为4;
乙地:总体平均数为1,总体方差大于0;
丙地:总体平均数为2,总体方差为3;
丁地:中位数为2,众数为3;
则甲、乙、两、丁四地中,一定没有发生大规模群体感染的是( )
A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】高三学生为了迎接高考,要经常进行模拟考试,锻炼应试能力,某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试,下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表:
模拟考试第x次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考试成绩y分 | 90 | 100 | 105 | 105 | 100 |
(1)已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程,若高考看作第11次模拟考试,试估计该考生的高考数学成绩;
(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中,从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究,设抽取考试成绩不等于平均值的个数为
,求出
的分布列与数学期望.
参考公式:.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:的左、右焦点分别是
,点
,若
的内切圆的半径与外接圆的半径的比是
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M是椭圆C的左顶点,P、Q是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线MP、MQ的斜率分别为、
,若
,试问直线PQ是否过定点?若过定点,求该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点在
上,以
为切点的
的切线的斜率为
,过
外一点
(不在
轴上)作
的切线
、
,点
、
为切点,作平行于
的切线
(切点为
),点
、
分别是与
、
的交点(如图):
(1)用、
的纵坐标
、
表示直线
的斜率;
(2)若直线与
的交点为
,证明
是
的中点;
(3)设三角形面积为
,若将由过
外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切线切点的连线)围成的三角形叫做“切线三角形”,如
,再由
、
作“切线三角形”,并依这样的方法不断作切线三角形……,试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及
所围成的阴影部分的面积
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】两个三口之家,共个大人,
个小孩,约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游,每辆车最多乘坐
人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是_____.
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