Question

7．为了了解在校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：

	男生	女生	合计
收看	10
不收看		8
合计			30

已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是$\frac{8}{15}$．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？
（Ⅱ）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为X，求X的分布列和均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数据可求得2×2列联表，计算观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，写出分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）

	男生	女生	合计
收看	10	6	16
不收看	6	8	14
合计	16	14	30

由已知数据得：${K^2}=\frac{{30{{（10×8-6×6）}^2}}}{16×14×16×14}≈1.158＜3.841$
所以，没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．
$P（X=0）=\frac{C_6^2}{{C_{16}^2}}=\frac{1}{8}，P（X=1）=\frac{{C_6^1C_{10}^1}}{{C_{16}^2}}=\frac{1}{2}$，$P（X=2）=\frac{{C_{10}^2}}{{C_{16}^2}}=\frac{3}{8}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{8}$

X的均值为：$EX=0×\frac{1}{8}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{8}=\frac{5}{4}$．

点评 本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个综合题，准确的数据运算是解决问题的关键．