Question

16．甲、乙两人投骰子，规定：投掷出来的点数为奇数，得一分，若投掷的是偶数则不加分；甲投掷3次，记甲得分数为ξ；乙射击2次，记乙的分数为η．规定：若ξ＞η，则甲获胜；若ξ＜η，则乙获胜．
（1）求甲得分ξ的分布列和期望值；   
（2）求出甲获胜的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得甲得分ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望的求法．
（2）甲获胜包含ξ=1，η=0；ξ=2，η=0或η=1；ξ=3，三种情况，由此利用已知条件能求出甲获胜的概率．

解答 解：（1）由已知得甲得分ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

Eξ=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$．
（2）甲获胜包含ξ=1，η=0；ξ=2，η=0或η=1；ξ=3，三种情况，
∵P（η=0）=$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，P（η=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$，P（η=2）=$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴甲获胜的概率：
P=P（ξ=1）•P（η=0）+P（ξ=2）•[1-P（η=2）]+P（ξ=3）
=$\frac{3}{8}×\frac{1}{4}$+$\frac{3}{8}（1-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{8}$
=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．