Question

16．已知函数f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=1，试判断f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）定义域容易看出为{x|x$≠\frac{1}{2}$}；
（2）a=1时，分离常数得到$f（x）=\frac{1}{2}+\frac{3}{2（2x-1）}$，可以判断出f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递减，根据减函数的定义，设任意的${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{1}{2}$，然后作差，通分，提取公因式，证明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减．

解答 解：（1）使f（x）有意义，则2x-1≠0；
∴$x≠\frac{1}{2}$；
∴定义域为{x|x$≠\frac{1}{2}$}；
（2）a=1时，$f（x）=\frac{x+1}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}（2x-1）+\frac{3}{2}}{2x-1}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2（2x-1）}$；
$x＞\frac{1}{2}$时，x增大，2（2x-1）增大，∴$\frac{3}{2（2x-1）}$减小，f（x）减小；
∴f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递减，证明如下：
设${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{1}{2}$，则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{2（2{x}_{1}-1）}-\frac{3}{2（2{x}_{2}-1）}$=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2（2{x}_{1}-1）（2{x}_{2}-1）}$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{1}{2}$；
∴x₂-x₁＜0，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递减．

点评 考查函数定义域的概念及其求法，分离常数法的运用，根据单调性定义判断并证明函数单调性的方法和过程，作差比较法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．