Question

（本小题满分14分）
如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.

Answer 1

解：
（1）  如图取BD中点M，连接AM，ME。因 ……1分
因 ， 满足：,
所以是BC为斜边的直角三角形，,                          
因是的中点,所以ME为的中位线 ，
,                                             …… 2分
是二面角的平面角=                 ……3分  
,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
平面AEM                    ……4分
因,为等腰直角三角形，
                                ……  6分
         ……  7分
（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，…….. 8分
则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，
,D,C
            …… 9分
设异面直线与所成角为,
则 ……10分 
 ……11分
由可知满足，
是平面ACD的一个法向量,                  …… 12分
记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d  
则 ……13分  所以d       …… 14分
（2），(3)解法二：
取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD
所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，
即或其补角中较小之一                                         ……  8分
，N为在斜边中点
所以有NE=,MN=,ME=,
        …….9分
=                     ……10分
(3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积,  ……11分
又由（1）知AE是A-BCD的高、 …..12分

E为BC中点，AEBC 又, ,
       ……13分
 到平面的距离                ……14分
解法三：(1) 因 ， 满足：, , 1分
如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，         …….. 2分
则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c)  (由图知a>0,b>0,c>0) …….3分
得 ….. 4分
平面BCD的法向量可取,
，所以平面ABD的一个法向量为        5分
则锐二面角的余弦值 …..6分
从而有,                 7分
所以平面          9分
(2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，
设异面直线与所成角为,则 ……10分 
 ……11分
(3)由可知满足，
是平面ACD的一个法向量,                  …… 12分
记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d  
则 ……13分  所以d       …… 14分

略