Question

15．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c^2}{a^2}-{{（\frac{{{c^2}+{a^2}-{b^2}}}{2}）}^2}]}$，现有周长为10+2$\sqrt{7}$的△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（　　）

• A． $6\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{7}$
• C． $8\sqrt{7}$
• D． 12

Answer 1

分析 由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．

解答 解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：$\sqrt{7}$，则a：b：c=2：3：$\sqrt{7}$，
∵△ABC周长为10+2$\sqrt{7}$，即a+b+c=10+2$\sqrt{7}$，
∴a=4，b=6，c=2$\sqrt{7}$，
所以S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{c^2}{a^2}-{{（\frac{{{c^2}+{a^2}-{b^2}}}{2}）}^2}]}$=6$\sqrt{3}$，
故选：A

点评 本题考查了数学文化，正弦定理，三角形面积计算，属于中档题．